Теоретические основы электротехники — ТОЭ. В помощь студенту

Формулы, примеры решения задач: ТОЭ | Электрические машины | Высшая математика | Теоретическая механика

    Электрический ток, плотность тока, электрическое напряжение, энергия при протекании тока, мощность электрического тока
  • Электрический ток
    Электрический ток — это явление упорядоченного движения электрических зарядов. За направление электрического тока принимается направление движения положительных зарядов.
    Направление электрического тока
    Формула электрического тока:
    i=lim{Delta{t{right}0}}{{{Delta}{q}}/{{Delta}{t}}}
    Электрический ток измеряется в амперах. СИ: А.
    Электрический ток обозначается латинскими буквами i или I. Символом i(t) обозначается «мгновенное» значение тока, т.е. ток произвольного вида в любой момент времени. В частном случае он может быть постоянным или переменным.
    Виды электрического тока
    Прописной латинской буквой I обозначается, как правило, постоянное значение тока.
    В любом участке неразветвленной электрической цепи протекает одинаковый по величине ток, который прямо пропорционален напряжению на концах участка и обратно пропорционален его сопротивлению. Величина тока определяется по закону Ома:
    1) для цепи постоянного тока I=U/R
    2) для цепи переменного тока I=U/Z,
    где U — напряжение, В;
    R — омическое сопротивление, Ом;
    Z — полное сопротивление, Ом.
    Омическое сопротивление проводника:
    R={rho}*{l/s},
    где l — длина проводника, м;
    s — поперечное сечение, мм2;
    ρ — удельное сопротивление, (Ом · мм2) / м.
    Зависимость омического сопротивления от температуры:
    Rt = R20 [1 + α(t — 20°)],
    где R20 — сопротивление при 20°C, Ом;
    Rt — сопротивление при t°C, Ом;
    α — температурный коэффициент сопротивления.
    Полное сопротивление цепи переменного тока:
    Z=sqrt{r^2+({x_L}-{x_C})^2},
    где r — активное сопротивление, Ом;
    x_L=w*L=2*{pi}*f*L — индуктивное сопротивление, Ом;
    L — индуктивность, Гн;
    x_C=1/{w*C}=1/{2*{pi}*f*C} — емкостное сопротивление, Ом;
    C — ёмкость, Ф.
    Активное сопротивление больше омического сопротивления R:
    r={K_f}*R,
    где K_f — коэффициент, учитывающий увеличение сопротивления при переменном токе, зависящий от: частоты тока; магнитных свойств, проводимости и диаметра проводника.
    При промышленной частоте, для нестальных проводников, принимают K_f=1 и считают r=R.
  • Плотность тока
    Плотность тока (j) — это сила тока, рассчитанная на единицу площади поперечного сечения (s)
    j={di}/{ds}.
    Для равномерного распределения плотности тока и сонаправленности её с нормалью к поверхности, через которую протекает ток, формула плотности тока принимает вид:
    j=I/s,
    где I — сила тока через поперечное сечение проводника площадью s.
    СИ: А/м2
  • Электрическое напряжение
    При протекании тока, как и при всяком перемещении зарядов, происходит процесс преобразования энергии. Электрическое напряжение — количество энергии, которое необходимо затратить на перемещение единицы заряда из одной точки в другую.
    Формула электрического напряжения:
    u=lim{Delta{q{right}0}}{{{Delta}{w}}/{{Delta}{q}}}={dw}/{dq}
    Электрическое напряжение обозначается латинской буквой u. Символом u(t) обозначается «мгновенное» значение напряжения, а прописной латинской буквой U обозначается, как правило, постоянное напряжение.
    Электрическое напряжение измеряется в вольтах. СИ: В.
  • Энергия при протекании электрического тока
    Формула энергии, при протекании электрического тока:
    w=int{-{infty}}{t}{uidt}=int{-{infty}}{t}{pdt}
    СИ: Дж
  • Мощность при протекании электрического тока
    Формула мощности, при протекании электрического тока:
    p={dw}/{dt}
    СИ: Вт.
    Электрическая цепь
  • Электрическая цепь — это совокупность устройств, предназначенных для протекания по ним электрического тока.
    Эти устройства называются элементами цепи.
  • Источники электрической энергии — устройства, преобразующие различные виды энергии, например механическую или химическую, в энергию электрического тока.
  • Идеальный источник напряжения — источник, напряжение на зажимах которого не зависит от величины протекающего через него тока.
    Идеальный источник напряжения и его ВАХ
    Внутреннее сопротивление идеального источника напряжения можно условно принять равным нулю.
  • Идеальный источник тока — источник, величина протекающего тока через который не зависит от напряжения на его зажимах.
    Идеальный источник тока и его ВАХ
    Внутреннее сопротивление такого источника можно условно принять равным бесконечности.
  • Приемник — это устройство, потребляющее энергию или преобразующее электрическую энергию в другие виды энергии.
  • Двухполюсник — это цепь, имеющая два зажима для подключения (полюса).
  • Идеальный R-элемент (резистивный элемент, резистор) — это такой пассивный элемент цепи, в котором происходит необратимый процесс преобразования электрической энергии в тепловую.
    Основной параметр резистора — это его сопротивление.
    R=u/i
    Сопротивление измеряется в омах. СИ: Ом
    Проводимость — это обратная величина по отношению к сопротивлению.
    G=i/u=1/R.
    Измеряется проводимость в сименсах. СИ: См.
    Формула мощности R-элемента:
    p=ui=Ri^2=Gu^2.
    Формула энергии R-элемента:
    w=int{t_1}{t_2}{pdt}=int{t_1}{t_2}{uidt}=int{t_1}{t_2}{Ri^2dt}=int{t_1}{t_2}{Gu^2dt}.
  • Идеальный С-элемент (емкостной элемент, или конденсатор) — это такой пассивный элемент цепи, в котором происходит процесс преобразования энергии электрического тока в энергию электрического поля и наоборот. В идеальном C-элементе потери энергии отсутствуют.
    Формула ёмкости:
    C=q/u. Примеры: задача 1, задача 2.
    Ток в ёмкости:
    i=C{{du}/{dt}}
    Напряжения на ёмкости:
    u=u(0)+{1/C}int{0}{t}{idt}.
    Закон коммутации для емкостного элемента. При токе конечной амплитуды заряд на C-элементе не может измениться скачком: {q}{(0^+)}={q}{(0^{-})}.
    i={{dq}/{dt}}=lim{{dt}{right}0}{{dq}/{dt}}.
    При неизменной ёмкости, напряжение на емкостном элементе не может измениться скачком: {u_C}{(0^+)}={u_C}{(0^{-})}.
    Мощность C-элемента: p=ui.
    При p > 0 — энергия запасается, при p < 0 — энергия возвращается в источник.
    Энергия C-элемента:
    w=int{-{infty}}{t}{pdt}=int{-{infty}}{t}{uidt}, или
    w={w(0)}+int{0}{t}{uidt}.
    Если к моменту времени t=0, энергия равна 0, то
    w=int{0}{t}{C{{du}/{dt}}udt}=int{0}{t}{{Cu^2}/2}
    Емкость измеряется в фарадах. СИ: Ф.
  • Идеальный L-элемент (индуктивный элемент или катушка индуктивности) — это такой пассивный элемент цени, в котором происходит процесс преобразования энергии электрического тока в энергию магнитного поля и наоборот. В идеальном L-элементе потери энергии отсутствуют.
    Для линейного L-элемента формула индуктивности (L) имеет вид:
    L=psi/i,
    где psi — потокосцепление.
    Индуктивность обозначается буквой L и играет роль коэффициента пропорциональности между потоком psi и током i.
    Напряжение на индуктивном элементе:
    u=L{{di}/{dt}}.
    Ток в индуктивном элементе:
    i=i(0)+{1/L}int{0}{t}{udt}.
    Закон коммутации для индуктивного элемента. При напряжении конечной амплитуды, потокосцепление не может измениться скачком: {psi}{(0^+)}={psi}{(0^{-})}.
    u={{d{psi}}/{dt}}=lim{{dt}{right}0}{{d{psi}}/{dt}}.
    При неизменной индуктивности ток в индуктивном элементе не может измениться скачком: {i_L}{(0^+)}={i_L}{(0^{-})}.
    Мощность L-элемента: p=ui.
    При p > 0 — энергия запасается, при p < 0 — энергия возвращается в источник.
    Энергия L-элемента:
    w=int{-{infty}}{t}{pdt}=int{-{infty}}{t}{uidt}, или
    w={w(0)}+int{0}{t}{uidt}.
    Если к моменту времени t=0, энергия равна 0, то
    w=int{0}{t}{L{{di}/{dt}}idt}=int{0}{t}{{Li^2}/2}
    Индуктивность измеряется в генри. СИ: Гн
    Пример: задача 3.
  • R, L, C — основные пассивные двухполюсные элементы электрических цепей.
    Резистор, индуктивность, ёмкость
    Основные законы электрических цепей
  • Закон Ома для участка цепи, не содержащего источник ЭДС.
    Закон Ома для участка цепи, не содержащего источник ЭДС, устанавливает связь между током и напряжением на этом участке.
    Изображение к закону Ома для участка цепи, не содержащего источник ЭДС
    Применительно к данному рисунку, математическое выражение закона Ома имеет вид:
    U_{ab}=I*R, или I=U_{ab}/R=({{varphi}_a}-{{varphi}_b})/R
    Формулируется это равенство так: при неизменном сопротивлении проводника напряжение на нем пропорционально току в проводнике.
  • Закон Ома для участка цепи, содержащего источник ЭДС
    Для схемы
    Рисунок №1 к закону Ома для участка цепи, содержащего источник ЭДС
    I={({{varphi}_a}-{{varphi}_c})+E}/R={{U_{ac}}+E}/R.
    Для схемы
    Рисунок №2 к закону Ома для участка цепи, содержащего источник ЭДС
    I={({{varphi}_a}-{{varphi}_c})-E}/R={{U_{ac}}-E}/R.
    В общем случае
    I={({{varphi}_a}-{{varphi}_c}){pm}E}/R={{U_{ac}}{pm}E}/R.
  • Закон Джоуля-Ленца. Энергия, выделяемая на сопротивлении R при протекании по нему тока I, пропорциональна произведению квадрата силы тока и величины сопротивления:
    W=I^2*R*t
  • Законы Кирхгофа.
    Топология (строение) цепи.
    Электрическая схема — графическое изображение электрической цепи.
    Ветвь ‐ участок цепи, содержащий один или несколько последовательно соединенных элементов и заключенный между двумя узлами.
    Узел ‐ точка цепи, где сходится не менее трех ветвей. Узлы нумеруют произвольно, как правило, арабской цифрой. На схеме узел может быть обозначен точкой, а может и не быть обозначен. Как правило, не обозначают те узлы, расположение которых очевидно (т‐образные соединения). Если пересекающиеся ветви образуют узел, то он обозначается точкой. Если в месте пересечения ветвей точки нет, то и узла нет (провода лежат друг на друге).
    Контур – замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям. Контуры независимы, если отличаются хотя бы одной ветвью. Контура обозначают стрелкой с указанным направлением обхода и римской цифрой. Направление обхода выбирают произвольно. Независимых контуров в схеме может быть много, при этом не все эти контура необходимы для составления достаточного для решения задачи количества уравнений.
    Первый закон Кирхгофа:
    Первый закон Кирхгофа
    1) алгебраическая сумма токов, подтекающих к любому узлу схемы, равна нулю:
    sum{k=1}{n}{I_k}=0;
    {I_1}-{I_2}-{I_3}-{I_4}=0
    2) сумма подтекающих к любому узлу токов равна сумме утекающих от узла токов:
    {I_1}={I_2}+{I_3}+{I_4}. Пример 1. Первый закон Кирхгофа.
    Второй закон Кирхгофа:
    1) алгебраическая сумма падений напряжения в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС вдоль того же контура:
    sum{k=1}{n}{{I_k}{R_k}}=sum{p=1}{m}{E_p}
    2) алгебраическая сумма напряжений (не падений напряжения!) вдоль любого замкнутого контура равна нулю:
    sum{k=1}{n}{U_k}=0. Пример 2. Второй закон Кирхгофа.
  • Матричная форма записи уравнений Кирхгофа:
    A*I=B*E,
    где А, Вквадратные матрицы коэффициентов при токах и напряжениях порядка p х p (p — число ветвей схемы; q — число узлов схемы);
    I, Eматрицы-столбцы неизвестных токов и заданных ЭДС
    Элементами матрицы А являются коэффициенты при токах в левой части уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа. Первые q-1 строки матрицы А содержат коэффициенты при токах в уравнениях, составленных по первому закону Кирхгофа, и имеют элементы +1, -1, 0 в зависимости от того, с каким знаком входит данный ток в уравнение.
    Элементы следующих p-q+1 строк матрицы А равны значениям сопротивлении при соответствующих токах в уравнениях, составленных по второму закону Кирхгофа, с соответствующим знаком. Элементы матрицы В равны коэффициентам при ЭДС в правой части уравнений, составленных по законам Кирхгофа. Первые q-1 строки матрицы имеют нулевые элементы, так как ЭДС в правой части уравнений, записанных по первому закону Кирхгофа, отсутствуют. Остальные p-q+1строки содержат элементы +1, -1 в зависимости от того, с каким знаком входит ЭДС в уравнение, и 0, если ЭДС в уравнения не входит.
    Общее решение уравнений, составленных по законам Кирхгофа:
    I=(A^{-1}*B)*E=G*E,
    где G=A^{-1}*B — матрица проводимостей.
    G = (matrix{4}{4}{{G_{11}} {G_{12}} {...} {G_{1p}~} {G_{21}} {G_{22}} {...} {G_{2p}} {...} {...} {...} {...} {G_{p1}} {G_{p2}} {...} {G_{pp}}}).
    Токи в каждой ветви:
    I_1=G_{11}*E_{11}+G_{12}*E_{12}+...+G_{1p}*E_p;
    I_2=G_{21}*E_{21}+G_{22}*E_{22}+...+G_{2p}*E_p;
    ...
    I_p=G_{p1}*E_{p1}+G_{p2}*E_{p2}+...+G_{pp}*E_p.
    Режимы работы электрических цепей
  • Номинальный режим работы элемента электрической цепи — это режим, при котором он работает с номинальными параметрами.
  • Согласованный режим — это режим, при котором мощность, отдаваемая источником или потребляемая приемником, имеет максимальное значение. Такое значение получается при определенном соотношении (согласовании) параметров электрической цепи.
  • Режим холостого хода — это такой режим, при котором через источник или приемник не протекает электрический ток. При этом источник не отдает энергию во внешнюю часть цепи, а приемник не потребляет ее. Для двигателя это будет режим без механической нагрузки навалу.
  • Режим короткого замыкания — это режим, возникающий при соединении между собой разноименных зажимов источника или пассивного элемента, а также участка электрической цепи, находящегося под напряжением.
    Электрические цепи постоянного тока
  • Если ток постоянный, то отсутствует явление самоиндукции и напряжение на катушке индуктивности равно нулю:
    U_L=L*{{di}/{dt}},~{{di}/{dt}}=0, так как i=const.
  • Постоянный ток через емкость не проходит.
  • Простая цепь постоянного тока — это цепь с одним источником при последовательном, параллельном или смешанном соединение приемников.
    Простая цепь постоянного тока
    При последовательном соединении приемников:
    E=I*R_1+I*R_2+...+I*R_n=I*(R_1+R_2+...+R_n)=I×Rэкв;
    Rэкв=ΣRi.
    При параллельном соединении приемников напряжение на всех приемниках одинаково.
    По закону Ома токи в каждой ветви:
    I_1=E/R_1;~ I_2=E/R_2;~I_n=E/R_n.
    По первому закону Кирхгофа общий ток:
    I=I_1+I_2+...+I_n=E*(1/R_1+1/R_2+...+1/R_n)=E×Gэкв;
    Gэкв=G1+G2+…+Gn; Rэкв=1/Gэкв.
    При смешанном соединении:
    Rэкв=R_1+{{R_2*R_3}/{R_2+R_3}}.
  • Метод контурных токов.
    Метод основан на применении второго закона Кирхгофа и позволяет сократить при расчете сложных систем число решаемых уравнений.
    Во взаимно независимых контурах, где для каждого контура хотя бы одна ветвь входит только в этот контур, рассматривают условные контурные токи во всех ветвях контура.
    Контурные токи, в отличие от токов ветвей, имеют следующие индексы: I_{I},~I_{II},~I_{III},~... или I_{11},~I_{22},~I_{33},~...
    Уравнения составляют по второму закону Кирхгофа для контурных токов.
    Токи ветвей выражают через контурные токи по первому закону Кирхгофа.
    Число выбираемых контуров и число решаемых уравнений равно числу уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа: k=p-q+1.
    Сумма сопротивлений всех резистивных элементов каждого контура со знаком плюс является коэффициентом при токе контура, имеет следующие индексы: R_{I},~R_{II},~R_{III},~... или R_{11},~R_{22},~R_{33},~...
    Знак коэффициента при токе смежных контуров зависит от совпадения или несовпадения направления смежных контурных токов. ЭДС входят в уравнение со знаком плюс, если направления ЭДС и направление тока контура совпадают. Пример 3. Метод контурных токов.
  • Метод узловых потенциалов.
    Метод основан на применении первого закона Кирхгофа и позволяет сократить число решаемых уравнений при нахождении неизвестных токов до q-1. При составлении уравнений потенциал одного из узлов схемы принимают равным нулю, а токи ветвей выражают через неизвестные потенциалы остальных q-1 узлов схемы и для них записывают уравнения по первому закону Кирхгофа. Решение системы q-1 уравнений позволяет определить неизвестные потенциалы, а через них найти токи ветвей.
    При q-1
<p -q+1 следует отдавать предпочтение методу узловых потенциалов.
  • Формула двух узлов:
    U_{12}={sum{i=1}{m}{E_i/R_i}}/{sum{i=1}{n}{1/R_i}}={sum{i=1}{m}{E_i*G_i}}/{sum{i=1}{n}{G_i}}.
    Пример 4. Метод узловых потенциалов.
  • Метод пропорциональных величии.
    Метод применяют для нахождения неизвестных токов при цепочечном соединении резистивных элементов в электрических цепях с одним источником. Токи и напряжения, а также и известную ЭДС цепи выражают через ток самой удаленной от источника ветви. Задача сводится к решению одного уравнения с одним неизвестным.
  • Баланс мощностей
    На основании закона сохранения энергии мощность, развиваемая источниками электрической энергии, должна быть равна мощности преобразования в цепи электрической энергии в другие виды энергии:
    {Sigma}E*I={Sigma}I^2*R.
    {Sigma}E*I — сумма мощностей, развиваемых источниками;
    {Sigma}I^2*R — сумма мощностей всех приемников и необратимых преобразований энергии внутри источников.
    Баланс мощностей составляют, чтобы проверить правильность найденного решения. При этом сравнивают мощность, внесенную в цепь источниками энергии с мощностью, затрачиваемой потребителями.
    Формула мощности для одного резистора:
    P_n={I_n}^2*R_n
    Суммарная мощность потребителей:
    PП={I_1}^2*R_1+{I_2}^2*R_2+...+{I_n}^2*R_n
    Мощность источников:
    Pист = PE + PJ,
    где PE = ±EI — мощность источника ЭДС (определятся умножением его ЭДС на ток, протекающий в данной ветви. Ток берут со знаком, полученным в результате расчета. Минус перед произведением ставят, если направление тока и ЭДС не совпадают на схеме);
    PJ = JUJ — мощность источника тока (определятся умножением тока источника на падение напряжения на нем).
    Для определения UJ выбирают любой контур, который включал бы в себя источник тока. Обозначают падение UJ на схеме против тока источника, и записывают контурное уравнение. Все величины, кроме UJ, в данном уравнении уже известны, что позволяет рассчитать падение напряжения UJ.
    Сравнение мощностей: Pист = PП. Если равенство соблюдено, значит, баланс сошелся и расчет токов верен.
  • Алгоритм расчета цепи по законам Кирхгофа
      Топология цепи.
    • Определяем общее число ветвей p*.
    • Определяем число ветвей с источниками тока pит. Токи в данных ветвях считаем известными и равными токам источников.
    • Определяем число ветвей с неизвестными токами: p*‐pит
    • Находим количество узлов q.
    • Находим число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа: q-1.
    • Находим число уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа: n=p-(q-1).
    1. Произвольно наносим на схему номера и направления неизвестных токов.
    2. Произвольно наносим на схему номера узлов.
    3. Составляем узловые уравнения для произвольно выбранных узлов (по первому закону).
    4. Обозначаем на схеме контура и выбираем направления их обхода.
    5. Количество обозначаемых контуров равно количеству уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа. При этом ни один из контуров не должен включать в себя ветвь с источником тока.
    6. Составляем контурные уравнения для выбранных контуров (по второму закону).
    7. Объединяем составленные уравнения в систему. Известные величины переносим в правую часть уравнений. Коэффициенты при искомых токах вносим в матрицу А (левые части уравнений)(о матрицах читаем здесь). Заполняем матрицу F, занося в нее правые части уравнений.
    8. Решаем полученную систему уравнений (примеры решения систем уравнений).
    9. Проверяем правильность решения составлением баланса мощностей.
      Пример: задача 4.
    Электрические цепи переменного тока
  • Электрическая цепь синусоидального тока — это электрическая цепь, в которой ЭДС, напряжения и и токи, изменяющиеся по синусоидальному закону:
    u=U_m*sin({omega}t+{psi}_u),~i=I_m*sin({omega}t+{psi}_i).
  • Переменный ток — это ток, периодически меняющийся по величине и направлению и характеризующийся амплитудой, периодом, частотой и фазой.
  • Амплитуда переменного тока — это наибольшее значение, положительное или отрицательное, принимаемое переменным током.
  • Период — это время, в течение которого происходит полное колебание тока в проводнике.
  • Частота — это величина, обратная периоду.
  • Фаза — это угол {omega}t или {omega}t{pm}{psi}, стоящий под знаком синуса. Фаза характеризует состояние переменного тока с течением времени. При t=0 фаза называется начальной.
  • Периодический режим: I_0(t)=I_0(t+kT). К такому режиму может быть отнесен и синусоидальный:
    U_0(t)=U_0({omega}t)={U_m}sin({omega}t+{psi}_u),
    где U_m — амплитуда;
    {psi}_u — начальная фаза;
    {omega}={2{pi}}/T=2{pi}f — угловая скорость вращения ротора генератора.
    При f = 50 Гц T=1/f=1/50=0,02~c,~{omega}{approx}314 рад/с.
  • Синусоидальный ток — это ток изменяющийся во времени по синусоидальному закону:
    i={I_m}sin({2{pi}t}/T+{psi}})={I_m}sin({omega}t+{psi}).
  • Среднее значение синусоидального тока (ЭДС, напряжение), формула:
    I_cp=1/{T/2}int{0}{T/2}{{I_m}sin{omega}tdt=2/{pi}I_m},
    то есть среднее значение синусоидального тока составляет 2/{pi}=0,638 от амплитудного. Аналогично,
    E_cp={2E_m}/{pi};~U_cp={2U_m}/{pi}.
  • Действующее значение синусоидального тока (ЭДС, напряжение), формула:
    I=sqrt{{1/T}int{0}{T}{i^2dt}}=sqrt{{1/T}int{0}{T}{{{I_m}^2}{sin^2}{omega}tdt}}=I_m/{sqrt{2}}=0,707I_m. Аналогично,
    E=E_m/{sqrt{2}};~U=U_m/{sqrt{2}}.
  • Количество теплоты, выделенное за один период синусоидальным током, формула:
    int{0}{T}{R{i^2}tdt}=R*{I_m}^2*{T/2}.
    Действующее значение синусоидального тока I численно равно значению такого постоянного тока, который за время, равное периоду синусоидального тока, выделяет такое же количество теплоты,что и синусоидальный ток.
    R*{I_m}^2*{T/2}=R×Iпост2×T или Iпост=I=I_m/{sqrt{2}}
  • Коэффициент амплитуды синусоидального тока (κa) — это отношение амплитуды синусоидального тока к действующему значению синусоидального тока: {kappa}_a=I_m/I={sqrt{2}}.
  • Коэффициент формы синусоидального тока (κф) — это отношение действующего значения синусоидального тока к среднему за пол периода значению синусоидального тока:
    κф=I/I_cp={I_m/{sqrt{2}}}/{{{2I_m}/{pi}}}={pi}/{2{sqrt{2}}}=1,11.
    Для несинусоидальных периодических токов κa{sqrt{2}}, κф≠1,11. Это отклонение косвенно свидетельствует о том, насколько несинусоидальный ток отличается от синусоидального.
    Основы комплексноrо метода расчета электрических цепей
  • любое комплексное число underline{A} можно представить:
    а) в алгебраической форме underline{A}=A{prime}+A{prime}{prime};
    б) в тригонометрической форме underline{A}=Acos{alpha}+jAsin{alpha};
    в) в показательной форме underline{A}=Ae^{j{alpha}},
    rде e^{j{alpha}}=cos{alpha}+jsin{alpha} — формула Эйлера;
    г) вектором на комплексной плоскости,
    вектор на комплексной плоскости
    где j=sqrt{-1}; — мнимая единица;
    A{prime}=Acos{alpha} — реальная часть комплексного числа underline{A} (проекция вектора на ось вещественных);
    A{prime}{prime}=Asin{alpha} — мнимая часть комплексного числа underline{A} (проекция вектора на ось мнимых);
    A=delim{|}{underline{A}}{|}=sqrt{A{prime}^2+A{prime}{prime}^2} — модуль комплексного числа;
    {alpha}=arg(underline{A}) — главное значение аргумента комплексного числа.
    Решенные примеры по действиям над комплексными числами здесь.
  • Синусоидальному току i может быть поставлено в соответствие комплексное число i~{right}~{underline{I}_m}e^{j{omega}t}.
  • Комплексная амплитуда тока — комплексное число модуль и аргумент которого соответственно равны амплитуде и начальной фазе синусоидального тока:
    {underline{I}_m}={I_m}e^{j{psi}_i}={I_m}cos{psi}_i+j{I_m}sin{psi}_i={I_m}{prime}+j{I_m}{prime}{prime}.
  • Комплексный ток (комплексный действующий ток):
    {underline{I}}={underline{I}_m}/{sqrt{2}}=Ie^{j{psi}_i}=Icos{psi}_i+jIsin{psi}_i=I{prime}+jI{prime}{prime}.
  • Синусоидальному напряжению u может быть поставлено в соответствие комплексное число u~{right}~{underline{U}_m}e^{j{omega}t}.
  • Комплексная амплитуда напряжения — комплексное число модуль и аргумент которого соответственно равны амплитуде и начальной фазе синусоидального напряжения:
    {underline{U}_m}={U_m}e^{j{psi}_u}={U_m}cos{psi}_u+j{U_m}sin{psi}_u={U_m}{prime}+j{U_m}{prime}{prime}.
  • Комплексное сопротивление:
    Z=R+j{omega}L-j{1/{{omega}C}}
    Активное сопротивление в комплексной форме выражается действительным положительным числом.
    Реактивное сопротивление в комплексной форме выражается мнимыми числами, причем индуктивное сопротивление (XL) положительно, а емкостное (XC) отрицательно.
    Полное сопротивление участка цепи при последовательном соединении R и X выражается комплексным числом, действительная часть равна активному сопротивлению, а мнимая часть реактивному сопротивлению этого участка.
  • Треугольник сопротивлений:
    Рисунок Треугольник сопротивлений
    Z=sqrt{R^2+X^2};~R=Z*cos{varphi};~X=Z*sin{varphi};
    cos{varphi}=R/Z;~sin{varphi}=X/Z;~tg{varphi}=X/R.
  • Треугольник напряжений:
    Рисунок Треугольник напряжений
    U_a=U*cos{varphi}=R*I;
    U_p=U*sin{varphi}=X*I;
    U=sqrt{{U_a}^2+{U_p}^2};~{varphi}={arctg}{{U_p}/{U_a}}.
  • Треугольник мощностей:
    Рисунок Треугольник мощностей
    Полная мощность: S=U*I;~S=sqrt{P^2+Q^2};
    Активная мощность: P=U*I*cos{varphi};~P=S*cos{varphi};
    Реактивная мощность: Q=U*I*sin{varphi};~Q=S*sin{varphi};
    cos{varphi}=P/S;~sin{varphi}=Q/S;~tg{varphi}=Q/P.
  • Закон Ома в комплексной форме:
    {underline{U}}={underline{I}}*Z.
  • Первый закон Кирхгофа в комплексной форме:
    sum{k=1}{n}{underline{I}_k}=0.
  • Второй закон Кирхгофа в комплексной форме:
    sum{k=1}{n}{underline{E}_k}=sum{k=1}{n}{underline{I}_k*{Z_k}}.
    Резонансные явления в электрических цепях
    Идеальное активное сопротивление не зависит от частоты, индуктивное сопротивление линейно зависит от частоты, емкостное сопротивление зависит от частоты по гиперболическому закону:
    R=const;~X_L=j{omega}L;~X_C=-j{1/{{omega}C}}.
    График зависимости активного сопротивления о частоты
    График зависимости индуктивного сопротивления о частоты
    График зависимости емкостного сопротивления о частоты

  • Резонанс напряжений.
    Резонансом в электрических цепях называется режим участка электрической цепи, содержащей индуктивный и емкостной элементы, при котором разность фаз между напряжением и током равна нулю {varphi}=0.
    Режим резонанса может быть получен при изменении частоты ω питающего напряжения или изменением параметров L и C.
    При последовательном соединении возникает резонанс напряжения.
    Схема электрической цепи с последовательным соединением  R, L, C
    Ток в схеме равен:
    I=U/{sqrt{R^2+X^2}}=U/{sqrt{R^2+({X_L}^2-{X_C}^2)}}=U/{sqrt{R^2+({omega}L-1/{{omega}C})^2}}.
    При совпадении вектора тока с вектором напряжения по фазе:
    I=I_{max}=U/R;~ {varphi}=0;
    {{omega}_0}L-{1/{{omega}_0}C}=0;
    Z=sqrt{R^2+({omega_0}L-{1/{{omega_0}C}})^2}=R,
    где {omega_0} — резонансная частота напряжения, определяемая из условия
    delim{|}{X_L}{|}=delim{|}{X_C}{|};~{omega_0}L=1/{{omega_0}C}.
    Тогда
    {omega_0}^2=1/{LC}~right~omega_0=sqrt{1/{LC}}.
    Волновое или характеристическое сопротивление последовательного контура:
    delim{|}{X_L}{|}=delim{|}{X_C}{|}={omega_0}L=sqrt{L/C}=Z_B.
    Добротность контура — это отношение напряжения на индуктивности или емкости к напряжению на входе в режиме резонанса:
    Q={U_L}/{U_{BX}}={U_C}/{U_{BX}}={{X_L}I}/{RI}={X_L}/R.
    Добротность контура представляет собой коэффициент усиления по напряжению:
    ULрез=IрезXрез={U/R}X_L=U{{X_L}/R}.
    В промышленных сетях резонанс напряжений является аварийным режимом, так как увеличение напряжения на конденсаторе может привести к его пробою, а рост тока — к нагреву проводов и изоляции.
  • Резонанс токов.
    Схема параллельного соединения реактивных элементов
    Резонанс токов может возникнуть при параллельном соединении реактивных элементов в цепях переменного тока. В этом случае: b_L-b_C=0, где
    b_L={X_L}/{Z^2};~b_C={X_C}/{Z^2};
    тогда {varphi}=arctg{b_L-b_C}/{g_1+g_2}=0;
    underline{I}=underline{I}_L+underline{I}_C=underline{U}(g_L-jb_L+g_C+jb_C)=underline{U}(g-j(b_L-b_C)).
    При резонансной частоте реактивные составляющие проводимости могут сравниться по модулю и суммарная проводимость будет минимальной. При этом общее сопротивление становится максимальным, общий ток минимальным, вектор тока совпадает с вектором напряжения. Такое явление называется резонансом токов.
    Волновая проводимость: b_L=b_C=sqrt{C/L}=gamma.
    При g << bL ток в ветви с индуктивностью значительно больше общего тока, поэтому такое явление называется резонансом токов.
    Резонансная частота:
    ω*={1/sqrt{LC}}sqrt{{L/C-{R_L}^2}/{{L/C-{R_L}^2}}}={omega}sqrt{{{rho}^2-{R_L}^2}/{{{rho}^2-{R_L}^2}}}
    Из формулы следует:
    1) резонансная частота зависит от параметров не только реактивных сопротивлений, но и активных;
    2) резонанс возможен, если RL и RC больше или меньше ρ, в противном случае частота будет мнимой величиной и резонанс не возможен;
    3) если RL = RC = ρ, то частота будет иметь неопределенное значение, что означает возможность существования резонанса на любой частоте при совпадении фаз напряжения питания и общего тока;
    4) при RL = RC << ρ резонансная частота напряжения равна резонансной частоте тока.
    Энергетические процессы в цепи при резонансе токов аналогичны процессам при резонансе напряжений.
    Реактивная мощность при резонансе токов равна нулю. Подробно, реактивная мощность рассмотрена здесь.
    Цепи с индуктивными связями
  • Индуктивно связанные элементы электрической цепи — это индуктивные катушки, в которых кроме ЭДС самоиндукции создается ЭДС от действия переменного магнитного поля других индуктивных катушек с током — ЭДС взаимной индукции.
  • Взаимная индуктивность между первой катушкой с током и второй определяется по формуле:
    M_{21}={{psi}_{21}}/i_1.
    Взаимная индуктивность между второй катушкой с током и первой определяется по формуле:
    M_{12}={{psi}_{12}}/i_2.
    При этом M_{12}=M_{21}=M,
    где M — коэффициент взаимной индукции, Гн.
  • Разметка зажимов катушек
    Рисунок: индуктивно связанные катушки
    * — обозначение одноименных зажимов катушек.
    При одинаковом направлении токов относительно одноименных зажимов * магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции в каждой катушке суммируются — согласное включение катушек.
    Включение, при котором токи в обеих катушках имеют противоположные направления относительно одноименных зажимов *, называется встречным. В этом случае магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции в каждой катушке вычитаются.
    Формула напряжения индукции: U_{11}=L_1{{di_1}/{dt}}.
    Формула напряжения взаимной индукции: U_{21}=M{{di_1}/{dt}}.
  • Последовательное соединение катушек
    Рисунок: последовательное соединение катушек
    При согласном включении:
    {psi}_1={L_1}i+M_i;~{psi}_2={L_2}i+M_i;
    L=({psi}_1+{psi}_2)/i={L_1}+{L_2}+2M.
    При встречном включении:
    {psi}_1={L_1}i-M_i;~{psi}_2={L_2}i-M_i;
    L={L_1}+{L_2}-2M.
    underline{U}_1={R_1}underline{I}+j{omega}{L_1}underline{I}{pm}j{omega}{M}underline{I};
    underline{U}_2={R_2}underline{I}+j{omega}{L_2}underline{I}{pm}j{omega}{M}underline{I}.
    Для мгновенных значений:
    u={R_1}_i+L_1{{di}/{dt}}{pm}V{{di}/{dt}}+{R_2}i+L_2{{di}/{dt}}{pm}M{{di}/{dt}}.
    underline{U}=underline{I}(Z_1+Z_2{pm}2Z_M)Z=Z_1+Z_2{pm}2Z_M,
    где Z_1+Z_2+2Z_M=Z_C;~Z_1+Z_2-2Z_M=Z_B.
    Формула сопротивления взаимной индукции: Z_M={Z_C-Z_B}/4.
  • Параллельное соединение катушек:
    Рисунок: параллельное соединение катушек
    Параметры цепи:
    underline{I}=underline{I}_1+underline{I}_2;~underline{U}=underline{I}_1{Z_1}+underline{I}_2{Z_M};~underline{U}={pm}underline{I}_1{Z_M}+underline{I}_2{Z_2}.
    underline{I}_1={underline{U}(Z_2{pm}Z_M)}/{Z_1Z_2-{Z_M}^2};~underline{I}_2={underline{U}(Z_1{pm}Z_M)}/{Z_1Z_2-{Z_M}^2};
    underline{I}=underline{U}{Z_1+Z_2{pm}2Z_M}/{Z_1Z_2-{Z_M}^2}, где Z={Z_1Z_2-{Z_M}^2}/{Z_1+Z_2{pm}2Z^2}.
    Переходные процессы в электрических цепях. Законы коммутации.
  • Переходные процессы — это процессы перехода от одного установившегося состояния к другому установившемуся состоянию.
    Коммутации — это изменения параметров элементов схемы или изменение режима работы самой схемы.
  • Принцип непрерывности во времени потокосцепления индуктивности и электрического заряда емкости
    W_{M(0-)}={L*{i_{(0-)}}^2}/2={L*{i_{(0+)}}^2}/2=W_{M(+)}.
    Потокосцепление скачком измениться не может
    {Psi}(0+)={Psi}(0-),
    WЭ(0-)={C*{u_{(0-)}}^2}/2={C*{u_{(0+)}}^2}/2=WЭ(+).
  • Заряд емкости скачком измениться не может
    Q(0+)=Q(0-).
  • Первый закон коммутации: в первый момент после коммутации ток в катушке индуктивности скачком измениться не может: {i_L}(0+)={i_L}(0-).
  • Второй закон коммутации: в первый момент после коммутации напряжение на емкости скачком измениться не может: {U_C}(0+)={U_C}(0-).