Интернет-учебник «Электромеханика»

    ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОМЕХАНИКИ

  • 1.1. Уравнения движения. Электромеханические аналогии.
  • 1.2. Электромеханические аналогии. Уравнения Лагранжа- Максвелла.
  • 1.3. Энергия электрического и магнитного полей. Силы и моменты, возникающие при электромеханическом преобразовании энергии.
  • 1.4. Электромагнитные, электродинамические и электростатические преобразователи.
  • 1.4.1. Электромагнитные преобразователи.
  • 1.4.2. Электродинамические преобразователи.
  • 1.4.3. Электростатические преобразователи.
  • 1.5. Классификация электромеханических преобразователей.
  • 1.6. Представление электромеханических преобразователей как преобразователей сигналов (информации).
  • 1.7. Анализ простейшего электромеханического преобразователя.
  • 1.8. Упражнения и контрольные вопросы к главе 1.


    ГЛАВА 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭНЕРГИИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИНАХ

  • 2.1. Принцип электромеханического преобразования энергии в электрической машине.
  • 2.2. Однонаправленное преобразование энергии в электрических машинах.
  • 2.3. Электромеханическое преобразование энергии с помощью вращающегося магнитного поля. Потери энергии. КПД.
  • 2.4. Классификация электрических машин

    2.5. Упражнения и контрольные вопросы к главе 2.


    ГЛАВА 3. АСИНХРОННЫЕ МАШИНЫ

  • 3.1. Общие с сведения и электромеханическое преобразование энергии в асинхронных машинах
  • 3.2. Асинхронные трехфазные двигатели
  • 3.3. Асинхронные двухфазные управляемые двигатели
  • 3.4. Упражнения и контрольные вопросы к главе 3.


    ГЛАВА 4. СИНХРОННЫЕ МАШИНЫ

  • 4.1. Электромеханическое преобразование энергии в синхронных машинах
  • 4.2 Специальные синхронные двигатели
  • 4.3 Упражнения и контрольные вопросы к главе 4.


    ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МАШИНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА

  • 5.1. Принцип действия и преобразование энергии в машинах постоянного тока
  • 5.2. Двигатели постоянного тока
  • 5.3. Генераторы постоянного тока
  • 5.4. Вентильные двигатели
  • 5.5. Упражнения и контрольные вопросы к главе 5.
    Список литературы.

Источник: www.unilib.neva.ru. Автор Леонтьев А. Г.


Задачи по ТОЭ

Формулы, примеры решения задач: ТОЭ | Электрические машины | Высшая математика | Теоретическая механика

Решение примеров по ТОЭ

Решенные примеры: первый закон Кирхгофа | второй закон Кирхгофа | метод контурных токов | метод узловых потенциалов | метод эквивалентного генератора | преобразование звезды в треугольник

    Примеры решения задач по ТОЭ
  • Электрические цепи постоянного тока
  • Электрические цепи переменного тока
  • Трехфазные цепи
  • Переходные процессы в линейных электрических цепях
  • Периодические синусоидальные токи в электрических цепях
  • Электромагнитные устройства
  • Электрические измерения и приборы
  • Трансформаторы
  • Машины постоянного тока
  • Асинхронные машины
  • Синхронные машины
    Источник: «Кафедра ФН7» МГТУ им. Баумана

Пример 1. Первый закон Кирхгофа.
Пример 1. Рисунок к первому закону Кирхгофа
Для схемы составить уравнение по первому закону Кирхгофа.

Решение:
По первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов, подтекающих к любому узлу схемы, равна нулю.

Токи, направленные к узлу, берем со знаком плюс, а токи, направленные от узла, берем со знаком минус.

В итоге запишем уравнение первого закона Кирхгофа, применительно к данной схеме:
J+I_1-I_2-I_3=0.

Ответ: J+I_1-I_2-I_3=0.

Пример 2. Второй закон Кирхгофа.
Пример 2. Рисунок ко второму закону Кирхгофа
Для изображенного на рисунке контура составить уравнение по второму закону Кирхгофа.

Решение:
Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжения в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС вдоль того же контура sum{k=1}{n}{{I_k}{R_k}}=sum{p=1}{m}{E_p}. Или
Алгебраическая сумма напряжений вдоль любого замкнутого контура равна нулю:
sum{k=1}{n}{U_k}=0.

При расчете электрической цепи число неизвестных токов равно числу ветвей в цепи p. По второму закону Кирхгофа составляется k=p-q+1 уравнений.

При определении числа ветвей (p) не учитывают ветви с R = 0, а ветви с одним и тем же током принимают за одну ветвь. При определении числа узлов (q) учитывают только те узлы, в которых сходится более чем две ветви, а ветви с R = 0 включают в состав узла.

В каждом контуре произвольно выбирают направление обхода контура.
Напряжения и ЭДС в уравнении берут с положительным знаком, если направление напряжений, ЭДС и токов совпадает с направлением обхода контура.

Выбираем направление обхода контура по часовой стрелке. Запишем для нашего контура уравнения по второму закону Кирхгофа:
I_1*R_1+I_2*R_2-I_3*R_3+I_4*R_4=E_1+E_2-E_3+E_4, или
U_1+U_2-U_3+U_4=0.

Ответ: I_1*R_1+I_2*R_2-I_3*R_3+I_4*R_4=E_1+E_2-E_3+E_4, или U_1+U_2-U_3+U_4=0.

Пример 3. Метод контурных токов.
Пример 3. Рисунок к методу контурных токов
Дано:
R1 = 4 Ом; R2 = 10 Ом; R3 = 1 Ом; R4 = 5 Ом; R5 = 2 Ом; R6 = 5 Ом; R7 = 2 Ом; E1 = 10 В; E2 = 10 В; E3 = 8 В;
Найти:
Токи в схеме методом контурных токов.
I11, I22, I33, Iam, Icm — ?

Решение:
Выберем направления всех контурных токов по часовой стрелке.
Положим, что в левом контуре по часовой стрелке течет контурный ток I11, в верхнем (также по часовой стрелке) — контурный ток I22, в правом (также по часовой стрелке) — контурный ток I33.

Для каждого контура составим уравнения по второму закону Кирхгофа. При этом учтем, что по ветви cm (с сопротивлением R4) течет сверху вниз ток Icm равный I_11-I_22, а по ветви am (с сопротивлением R5) течет сверху вниз ток Iam равный I_22-I_33.
Направления обхода контуров примем также по часовой стрелке.

Определяем полное сопротивление первого контура:
R_11=R_1+R_6+R_4=4+5+5=14 Ом.

Определяем полное сопротивление второго контура:
R_22=R_2+R_5+R_4=10+2+5=17 Ом.

Определяем полное сопротивление третьего контура:
R_33=R_3+R_5+R_7=1+2+2=5 Ом.

Сопротивление смежной ветви между контурами входит в уравнение со знаком минус, если направления контурных токов вдоль этой ветви встречны, и со знаком плюс, если направления этих токов согласны.

Сопротивление смежной ветви первого и второго контура:
R_12=R_21=-R_4=-5 Ом.

Сопротивление смежной ветви первого и третьего контура:
R_13=R_31=0 Ом.

Контурная ЭДС первого контура, равна алгебраической сумме ЭДС этого контура (в нее со знаком плюс входят те ЭДС, направления которых совпадают с направлением обхода контура):
E_11=-E_1=-10 В.

Контурная ЭДС второго контура:
E_22=E_2=10 В.

Контурная ЭДС третьего контура:
E_33=-E_3=-8 В.

Применив второй закон Кирхгофа, составим систему уравнений для трех контуров в общем виде:
delim{}{matrix{3}{7}{{R_{11}I_11} {+} {R_{12}I_22} {+} {R_{13}I_33} {=} {E_11,~} {R_{21}I_11} {+} {R_{22}I_22} {+} {R_{23}I_33} {=} {E_22,~} {R_{31}I_11} {+} {R_{32}I_22} {+} {R_{33}I_33} {=} {E_33,~}}}{rbrace}

или в матричной форме (R)*(I)=(E);

(matrix{3}{3}{{R_{11}} {R_{12}} {R_{13}} {R_{21}} {R_{22}} {R_{23}} {R_{31}} {R_{32}} {R_{33}}})*(matrix{3}{1}{{I_{11}} {I_{22}} {I_{33}}})*(matrix{3}{1}{{E_{11}} {E_{22}} {E_{33}}}).

Подставим в систему уравнений численные значения:
delim{}{matrix{3}{7}{{14I_11} {-} {5I_22} {+} {0I_33} {=} {-10,~} {-5I_11} {+} {17I_22} {-} {2I_33} {=} {10,~} {0I_11} {-} {2I_22} {+} {5I_33} {=} {-8.~}}}{rbrace}

Вычислим главный определитель системы применив «правило треугольников»:
{Delta}=delim{|}{matrix{3}{3}{{14} {-5} {0} {-5} {17} {-2} {0} {-2} {5}} }{|}=14*17*5+(-5)*(-2)*0+0*(-5)*(-2)-
{-}0*17*0-(-2)*(-2)*14-5*(-5)*(-5)=1009.

Операции с матрицами, решение систем линейных уравнений, нахождение определителя с этими вычислениями качественно и быстро справляется он-лайн калькулятор, использованный при решении задачи 4.

Главный определитель системы линейных уравнений не равен нулю, значит система совместна и определена. Используя формулы Крамера, находим единственное решение уравнений: I_11={{Delta}_1}/{Delta},~I_22={{Delta}_2}/{Delta},~I_33={{Delta}_3}/{Delta},
где Δ1 — определитель, получаемый из главного определителя системы Δ заменой первого столбца на столбец свободных членов (столбец матрицы E);
Δ2 — определитель, получаемый из главного определителя системы Δ заменой второго столбца на столбец свободных членов (столбец матрицы E);
Δ3 — определитель, получаемый из главного определителя системы Δ заменой третьего столбца на столбец свободных членов (столбец матрицы E).

Вычисляем контурные токи:
I_11={delim{|}{matrix{3}{3}{{-10} {-5} {0} {10} {17} {-2} {-8} {-2} {5}} }{|}}/{1009}={=}{-10*17*5+(-5)*(-2)*(-8)+0*10*(-2)-(-8)*17*0-(-2)*(-2)*(-10)-5*10*(-5)}/1009=
{=}-640/1009=-0,634~A;

I_22={delim{|}{matrix{3}{3}{{14} {-10} {0} {-5} {10} {-2} {0} {-8} {5}} }{|}}/{1009}={=}{14*10*5+(-10)*(-2)*0+0*(-5)*(-8)-0*10*0-(-8)*(-2)*14-5*(-5)*(-10)}/1009=
{=}226/1009=0,224~A;

I_33={delim{|}{matrix{3}{3}{{14} {-5} {-10} {-5} {17} {10} {0} {-2} {-8}} }{|}}/{1009}={=}{14*17*(-8)+(-5)*10*0+(-10)*(-5)*(-2)-0*17*(-10)-(-2)*10*14-(-8)*(-5)*(-5)}/1009=
{=}-1524/1009=-1,51~A.

Определяем токи в смежных ветвях:
I_{cm}=I_11-I_22=-0,634-0,224=-0,858~A;
I_{am}=I_22-I_33=0,224-(-1,51)=1,734~A.

Ответ: I_{11}=-0,634~A;~I_{22}=0,224~A;~I_{33}=-1,51~A;~I_{cm}=-0,858~A;~I_{am}=-1,734~A.

Пример 4. Метод узловых потенциалов.
Пример 4. Рисунок к методу узловых потенциалов
Дано:
R1 = 5 Ом; R2 = 10 Ом; R3 = 10 Ом; R4 = 3 Ом; R5 = 40 Ом; R6 = 7 Ом; E1 = 40 В; E2 = 10 В; J = 1 А.
Найти:
Токи в схеме методом узловых потенциалов.
I13, I31, I21, I32, — ?

Решение:

Общее число ветвей схемы равно 5.

Число ветвей схемы с источниками тока равно 1.

Число ветвей схемы с неизвестными токами равно 4.

Число узлов схемы 3, нумеруем их, при этом один (q3), произвольно выбранный, заземляем. Его потенциал принимается равным нулю (ϕ3=0).

Выбираем направления токов в ветвях: в ветвях с ЭДС – согласно с ней, в остальных ветвях – произвольно. Обозначаем токи двумя индексами: первый – номер узла, от которого ток утекает, второй – номер узла, к которому ток подтекает.

Записываем выражения для токов в ветвях через потенциалы узлов:
I_13={{varphi}_1-{varphi}_3+E_1}/R_3;~I_21={{varphi}_2-{varphi}_1}/R_1;~I_31={{varphi}_3-{varphi}_1}/R_2;~I_32={{varphi}_3-{varphi}_2+E_2}/{R_4+R_6}.

Составляем уравнения по первому закону Кирхгофа для тех узлов, потенциалы которых неизвестны (q1, q2):
I_31+I_21-I_13=0;
-I_21+I_32+J=0.

В уравнениях заменяем токи в ветвях выражениями для токов в ветвях через потенциалы узлов:
{{varphi}_3-{varphi}_1}/R_2+{{varphi}_2-{varphi}_1}/R_1-{{varphi}_1-{varphi}_3+E_1}/R_3=0;
-{{varphi}_2-{varphi}_1}/R_1+{{varphi}_3-{varphi}_2+E_2}/{R_4+R_6}+J=0.

Подставив в уравнения данные известных величин, получаем следующую систему уравнений:
delim{}{matrix{2}{7}{{{0-{varphi}_1}/10} {+} {{{varphi}_2-{varphi}_1}/5} {-} {{{varphi}_1-{varphi}_3+40}/10} {=} {0;~} {-{{varphi}_2-{varphi}_1}/5} {+} {{{varphi}_3-{varphi}_2+10}/{3+7}} {+} {1} {=} {0.~}}}{rbrace}

Умножив все члены уравнений на 10, после необходимых преобразований получаем удобную для расчетов систему уравнений:
delim{}{matrix{2}{5}{{-4{varphi}_1} {+} {2{varphi}_2} {=} {40;~} {2{varphi}_1} {-} {3{varphi}_2} {=} {-20.~}}}{rbrace}

Применив метод Крамера, метод Гауcса, метод обратной матрицы или воспользовавшись матричным он-лайн калькулятором, решаем систему уравнений.
В итоге, получаем {varphi}_1=-10~B;~{varphi}_2=0~B.

Найденные значения потенциалов подставляем в формулы и находим, таким образом, искомые токи ветвей:
I_13=I_1={{varphi}_1-{varphi}_3+E_1}/R_3={-10-0+40}/10=3~A;
I_21=I_3={{varphi}_2-{varphi}_1}/R_1={0-(-10)}/5=2~A;
I_31=I_2={{varphi}_3-{varphi}_1}/R_2={0-(-10)}/10=1~A;
I_32=I_4={{varphi}_3-{varphi}_2+E_2}/{R_4+R_6}={0-0+10}/{3+7}=1~A.

Второй вариант решения задачи.

Общее число ветвей схемы равно шести.

Схема содержит одну ветвь с источником тока.

Схема содержит четыре ветви с неизвестными токами.

Число узлов схемы равно трем, нумеруем их, при этом один, произвольно выбранный (q3), заземляем. Его потенциал принимаем равным нулю.

Произвольно выбираем направления токов в ветвях.

Определяем проводимость ветвей, сходящихся в узле q1:
G_11=1/R_1+1/R_2+1/R_3=1/5+1/10+1/10=0,4 См.

Определяем проводимость ветвей, сходящихся в узле q2:
G_22=1/R_1+1/{R_4+R_6}=1/5+1/{3+7}=0,3 См.
Проводимость ветви, содержащей источник тока равна 0, так как сопротивление источника тока равно бесконечности.

Проводимость ветви, непосредственно соединяющей узлы q1 и q2 берем со знаком минус:
G_12=G_21=-1/R_1=-1/5=-0,2 См.

Определяем узловые токи:
I_11=-E_1/R_3=-40/10=-4~A,~I_22=E_2/{R_4+R_6}+J=10/{3+7}+1=2~A.

Получаем систему уравнений:
delim{}{matrix{2}{5}{{{(1/R_1+1/R_2+1/R_3)}{varphi}_1} {-} {{1/R_1}{varphi}_2} {=} {-E_1/R_3;~} {-1/R_1{varphi}_1} {+} {{1/R_1+1/{R_4+R_6}}{varphi}_2} {=} {E_2/{R_4+R_6}+J.~}}}{rbrace}

delim{}{matrix{2}{5}{{0,4{varphi}_1} {-} {0,2{varphi}_2} {=} {-4;~} {-0,2{varphi}_1} {+} {0,3{varphi}_2} {=} {2.~}}}{rbrace}

Решаем полученную систему уравнений относительно потенциалов узлов.
В итоге, получаем {varphi}_1=-10~B;~{varphi}_2=0~B.

Определяем токи ветвей по закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС:
I_1={{varphi}_1-{varphi}_3+E_1}/R_3={-10-0+40}/10=3~A;
I_3={{varphi}_2-{varphi}_1}/R_1={0-(-10)}/5=2~A;
I_2={{varphi}_3-{varphi}_1}/R_2={0-(-10)}/10=1~A;
I_4={{varphi}_3-{varphi}_2+E_2}/{R_4+R_6}={0-0+10}/{3+7}=1~A.

Ответ: I_13=I_1=3~A; I_21=I_3=2~A; I_31=I_2=1~A; I_32=I_4=1~A.

Пример 5. Метод эквивалентного генератора.
Схема к примеру 5. Метод  эквивалентного генератора
Дано: Е1 = 200 В; Е2 = 50 В; R01 = R02 = 0,5 Ом; R1 = R2 = 4,5 Ом; R3 = 5 Ом; R4 = 10 Ом; R5 = 1,25 Ом; R6 = 5 Ом; R7 = 10 Ом.
Найти: I5 — ?

Решение:
Для решения примера применяем метод эквивалентного генератора.
Чтобы найти ЭДС эквивалентного генератора, предположим разрыв в ветви с сопротивлением R5 (так называемый режим холостого хода), значит ток в этой ветви равен 0.
Получаем схему из двух замкнутых контуров с источникам ЭДС Е1, Е2:
Схема к примеру 5. Режим холостого хода
По закону Ома находим токи в каждом контуре:
I_{1xx}=E_1/{R_{01}+R_1+R_3+R_7}=200/{0,5+4,5+5+10}=200/20=10~A.
I_{2xx}=E_2/{R_{02}+R_6+R_4+R_2}=50/{0,5+5+10+4,5}=50/20=2,5~A.

Формула для определения напряжения холостого хода:
U_{xx}={varphi}_A-{varphi}_B.

Если принять потенциалы точек C и D равными 0: {varphi}_C={varphi}_D=0, тогда потенциалы точек А и В будут выше потенциалов точек С и D на величины потерь напряжений R_{3}I_{1xx} и R_{4}I_{2xx} в ветвях АС и BD:
{varphi}_A={varphi}_C+R_{3}I_{1xx}=0+5*10=50~B;
{varphi}_B={varphi}_D+R_{4}I_{2xx}=0+10*2,5=25~B.

Подставив в формулу для определения напряжения холостого хода, значения потенциалов, получим:
U_{xx}={varphi}_A-{varphi}_B=50-25=25~B

Если предположить, что ЭДС Е1 и Е2 равны нулю, то внутреннее сопротивление эквивалентного генератора равно входному сопротивлению цепи со стороны точек А и В.
Между точками А и С, В и D в этой схеме включены две пары ветвей, которые соединены между собой последовательно.
Значит, можно записать, что
R_{BX}={R_3*(R_1+R_{01}+R_7)}/{R_3+R_1+R_{01}+R_7}+{R_4*(R_2+R_{02}+R_6)}/{R_4+R_2+R_{02}+R_6}=
{}={5*(4,5+0,5+10)}/{5+4,5+0,5+10}+{10*(4,5+0,5+5)}/{10+4,5+0,5+5}=75/20+100/20=8,75 Ом.

Применив закон Ома для всей цепи определяем ток I_5:
I_5=U_{xx}/{(R_{BX}+R_5)}=25/{(8,75+1,25)}=25/10=2,5~A.

Ответ: I_5=5~A.

Пример 6. Входное сопротивление. Преобразование звезды в треугольник.
Схема к примеру 6
Дано:
R1 = 1 Ом; R2 = 2 Ом; R3 = 3 Ом; R4 = 4 Ом; R5 = 5 Ом; R6 = 6 Ом.
Найти: Rab — ?

Решение.
Для определения входного (относительно точек a и b) сопротивления схемы необходимо выполнить ряд преобразований.

Звезду, состоящую из сопротивлений R4, R5, R6, преобразуем в треугольник.

R_45=R_4+R_5+{R_4*R_5}/R_6=4+5+{4*5}/6=12,3 Ом;
R_56=R_5+R_6+{R_5*R_6}/R_4=5+6+{5*6}/4=18,5 Ом;
R_46=R_4+R_6+{R_4*R_6}/R_5=4+6+{4*6}/5=14,8 Ом.

В результате преобразований получаем схему:
Схема к примеру 6. Преобразование звезды в треугольник
Параллельно включенные сопротивления заменяем эквивалентными:
R_{1-46}={R_{46}*R_1}/{R_{46}+R_1}={14,8*1}/{14,8+1}=0,937 Ом;
R_{2-45}={R_{45}*R_2}/{R_{45}+R_2}={12,3*2}/{12,3+2}=1,721 Ом;
R_{3-56}={R_{56}*R_3}/{R_{56}+R_3}={18,5*3}/{18,5+3}=2,581 Ом.

В результате преобразований получаем схему:
Схема к примеру 6. Параллельное соединение

Определяем входное сопротивление схемы относительно точек a и b:
R_{ab}={R_{1-46}*(R_{2-45}+R_{3-56})}/{R_{1-46}+R_{2-45}+R_{3-56}}={0,937*(1,721+2,581)}/{0,937+1,721+2,581}=0,769 Ом.

Ответ: входное сопротивление схемы R_{ab}=0,769 Ом.

Задача 1. Вывести формулу для емкости плоского конденсатора
Задача 1. Рисунок 1. Плоский конденсатор
Площадь каждой пластины конденсатора (с одной стороны) S, расстояние между пластинами конденсатора а, относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика εr.

Решение:
На виде сбоку показаны силовые линии. В основной области поле однородно. На краях имеется некоторая неоднородность, которую учитывать не будем. vec{E} направлена от заряда +q к заряду –q.

Напряжение между электродами конденсатора:
U=int{1}{2}{{vec{E}}d{vec{l}}}=int{1}{2}{Ecos0^0{dl}}=Ea.

Охватим верхний электрод конденсатора замкнутой поверхностью (на рисунке показан пунктиром) и применим к ней теорему Гаусса:
oint{}{}{{vec{E}}d{vec{S}}}=ES=q/{{{varepsilon}_0}{{varepsilon}_r}}. Значит,
E=q/{{{varepsilon}_0}{{varepsilon}_r}S}, а формула для определения емкости плоского конденсатора примет вид:
C=q/U={{{varepsilon}_0}{{varepsilon}_r}S}/a.

Ответ: C={{{varepsilon}_0}{{varepsilon}_r}S}/a — формула емкости плоского конденсатора.

Задача 2. Вывести формулу емкости цилиндрического конденсатора
Задача 2. Рисунок 1. Цилиндрический конденсатор
На внутреннем электроде радиусом r1 находится заряд +q, на наружном электроде радиусом r2 — заряд –q.

Решение:
Окружим внутренний электрод цилиндрической замкнутой поверхностью радиуса r{r1 < r < r2).

Поток вектора vec{E} имеет место через боковую поверхность, через торцы поток отсутствует, так как на торцах d{vec{S}} и vec{E} взаимно перпендикулярны:
oint{}{}{{vec{E}}d{vec{S}}}={Ecos0^0{dS}}=E2{pi}rl=q/{{{varepsilon}_0}{{varepsilon}_r}}. Получаем E=q/{{2{pi}rl{varepsilon}_0}{{varepsilon}_r}}

Напряжение между электродами цилиндрического конденсатора:
U=int{r_1}{r_2}{{vec{E}}d{vec{r}}}=q/{{2{pi}rl{varepsilon}_0}{{varepsilon}_r}}int{r_1}{r_2}{{dr}/r}={q/{{2{pi}rl{varepsilon}_0}{{varepsilon}_r}}}*{ln{{r_2}/{r_1}}}.

Получаем формулу для расчета емкости цилиндрического конденсатора:
C=q/U={{{varepsilon}_0}{{varepsilon}_r}2{pi}}/{ln{{r_2}/{r_1}}}.

Ответ: C={{{varepsilon}_0}{{varepsilon}_r}2{pi}}/{ln{{r_2}/{r_1}}} — формула емкости цилиндрического конденсатора.

Задача 3. Вывести формулу для индуктивности цилиндрического провода длиной l радиусом R, обусловленной потокосцеплением в теле самого провода.
На рисунке показан вид провода с торца.
Задача 3. Рисунок. Индуктивность цилиндрического провода

Решение:
Пропустим вдоль провода постоянный ток I. По закону полного тока напряженность поля Н на расстоянии r от оси провода равна току {I/{{pi}R^2}}{pi}r^2, охваченному окружностью радиусом r и деленному на длину этой окружности 2{pi}r: H={Ir}/{2{pi}R^2}{pi}r^2. Индукция B={{mu}_a}H.

Магнитная энергия, запасенная в теле провода вычисляется по формуле:
W_M=int{0}{R}{{{HB/2}}2{pi}rldr}={{{{mu}_a}{I^2}l}/{16{pi}R^4}}int{0}{R}{{r^3}dr}={{{mu}_a}{I^2}l}/{16{pi}}.

Получаем формулу индуктивности цилиндрического провода:
L={2W_M}/{l^2}={{{mu}_a}l}/{8{pi}}.

Ответ: L={{{mu}_a}l}/{8{pi}} — формула индуктивности цилиндрического провода.

Задача 4. Найти токи в схеме.
Задача 4. Рисунок 1. Законы Кирхгофа
R1 = 5 Ом; R2 = 10 Ом; R3 = 10 Ом; R4 = 3 Ом; R5 = 40 Ом; R6 = 7 Ом; E1 = 40 В; E2 = 10 В; J1 = 1 A.

Решение:
Расчет цепи ведем по законам Кирхгофа.
Топология.
Определяем общее число ветвей:
p* = 5
Определяем число ветвей с источниками тока:
pит = 1.
Определяем число ветвей с неизвестными токами:
p = p* ‐ pит = 4.
Находим количество узлов q = 3.
Находим число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа:
q ‐ 1 = 2.
Находим число уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа:
n = p* — (q — 1) = 2.
Произвольно наносим на схему номера и направления неизвестных токов
Задача 4. Рисунок 2. Законы Кирхгофа
Произвольно наносим на схему номера узлов:
Задача 4. Рисунок 3. Законы Кирхгофа
Составляем узловые уравнения для произвольно выбранных узлов – для узлов 3 и 1:
I_1-I_2-J-I_4=0
I_2+I_3-I_1=0
Обозначаем на схеме контура и выбираем направления их обхода. Количество обозначаемых контуров равно количеству уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа. При этом ни один из контуров не должен включать в себя ветвь с источником тока
Задача 4. Рисунок 4. Законы Кирхгофа

Составляем контурные уравнения для выбранных контуров:
I_1*R_3+I_2*R_2=E_1
I_3*R_1-I_2*R_2+I_4*R_4+I_4*R_6=E_2

Объединяем составленные уравнения в систему. Известные величины переносим в правую часть уравнений. Удобно, если токи в уравнении стоят по порядку возрастания индексов:
I_1-I_2-I_4=J
-I_1+I_2+I_3=0
I_1*R_3+I_2*R_2=E_1
-I_2*R_2+I_3*R_1+I_4*(R_4+R_6)=E_2

Коэффициенты при искомых токах вносим в матрицу А (левые части уравнений).Заполняем матрицу F, занося в нее правые части уравнений.
A=(matrix{4}{4}{1 {-1} 0 {-1~} {-1} 1 1 {0~} 10 10 0 {0~} 0 {-10} 5 {10~}});~F=(matrix{4}{1}{J 0 {E_1} {E_2}})
Решаем полученную систему уравнений с помощью on-line калькулятора (например Matrix calculator).
Полученные токи: I1 = 3 А; I2 = 1 А; I3 = 2 А; I4 = 1 А.
О том, как решать системы линейных уравнений читайте здесь.

Проверяем правильность решения составлением баланса мощностей.
Подсчитываем мощность, потребляемую резистивными элементами схемы:
PП={I_1}^2*R_3+{I_2}^2*R_2+{I_3}^2*R_1+{I_4}^2*(R_4+R_6)=
{}=3^2*10+1^2*10+2^2*5+1^2*(3+7)=130 Вт.

Подсчитываем мощность источников ЭДС. При этом знак минус выбирают, если выбранное направление тока в ветви с источником и стрелка в источнике не совпадают:
P_E={pm}E*I=E_1*I_1+E_2*I_4=40*3+10*1=130 Вт.

Подсчитываем мощность источников тока: P_J=J*U_J. Величина U_J неизвестна, ее необходимо определить. Для этого выбирают любой контур, содержащий источник тока, и для этого контура составляется контурное уравнение.
Задача 4. Рисунок 5. Законы Кирхгофа
Направление стрелки напряжения U_J всегда выбирают против тока источника. Далее из этого уравнения, в котором все величины уже известны, можно определить U_J:
I_3*R_1-I_2*R_2-U_J=0
Отсюда
U_J=I_3*R_1-I_2*R_2=10-10=0 Вт.

Таким образом, PП = PE. Баланс мощностей соблюден, значит, решение верно.

Ответ: I1 = 3 А; I2 = 1 А; I3 = 2 А; I4 = 1 А.

Примеры решения задач по физике здесь, решенные задачи из курса физики для школьников, абитуриентов и студентов.

    Электронные версии сборников задач по электротехнике
  • Авербух А.М. Решения задач по неполнофазным режимам и сложным видам коротких замыканий. 1972г.
  • Авербух А.М. Примеры расчетов неполнофазных режимов и коротких замыканий. 1979г.
  • Андреев Г.П. Сборник задач и упражнений по теоретическим основам электротехники. 1982г.
  • Андреев Г.П. Задачник по теоритическим основам электротехники. 1962г.
  • Беляева Е.Н. Как рассчитать ток короткого замыкания. Издание 2. 1983г.
  • Бессонов Л.А. Сборник задач по теоретическим основам электротехники. Издание 2. 1980г.
  • Бессонов Л.А. Сборник задач по теоретическим основам электротехники. 1975г.
  • Гайах Т. Простейшие электротехнические расчеты. 1968г.
  • Герасимов В.Г. Сборник задач по электротехнике и основам электроники. 1987г.
  • Гинзбург С.Г. Методы решения задач по переходным процессам в электрических цепях. 1967г.
  • Гольдин О.Е. Задачник по курсу теоретических основ электротехники. 1960г.
  • Гуревич И.В. Основы расчетов радиотехнических цепей. 1975г.
  • Зайцев И.А. Задачник по теоретическим основам электротехники. Издание 2. 1961г.
  • Зайцев И.А. Задачник по теоретическим основам электротехнике. Издание 2. 1961г.
  • Зайчик М.Ю. Сборник задач и упражнений по теоретической электротехнике. 1988г.
  • Ионкин П.А. Сборник задач и упражнений по общей электротехнике. Издание 2. 1952г.
  • Ионкин П.А. Сборник задач и упражнений по общей электротехнике. 1955г.
  • Ионкин П.А. Сборник задач и упражнений по теоретическим основам электротехники. 1982г.
  • Константинов В.И. Сборник задач по теоретической электротехнике. Издание 5. 1970г.
  • Константинов В.И. Сборник задач по теоретической электротехнике. 1968г.
  • Константинов В.И. Сборник задач с решениями по общей электротехнике. 1972г.
  • Константинов В.И. Сборник задач по теоретической электротехнике.
  • Куренев С.И. Сборник задач по расчету электрических цепей. 1967г.
  • Куренев С.И. Сборник задач по расчету электрических цепей. 1967г.
  • Липатов Д.Н. Вопросы и задачи по электротехнике для программированного обучения. 1973г.
  • Липатов Д.Н. Вопросы и задачи по электротехнике для программированного обучения. 1984г.
  • Лосев А.К. Задачник по теории линейных электрических цепей. 1989г.
  • Миловзорова З.И. Электромагнитная техника в задачах, упражнениях и расчетах. 1975г.
  • Москалев Л.А. Задачник по электротехнике. Издание 3. 1959г.
  • Пантюшин В.С. Сборник задач по электротехнике и основам электроники. 1979г.
  • Пантюшин В.С. Сборник задач по общей электротехнике. 1973г.
  • Понаморенко В.К. Сборник задач с решениями по общей электротехнике. 1972г.
  • Раскатов А.И. Задачник по электронике и электрооборудованию. Издание 2. 1962г.
  • Раскатов А.И. Задачник по электронике и электрооборудованию. Издание 3. 1964г.
  • Рекус Г.Г. Сборник задач и упражнений по электротехнике и основам электроники. 2001г.
  • Ульянов С.А. Сборник задач по электромагнитным переходным процессам в электрических системах. 1968г.
  • Читечян В.И. Электрические машины. Сборник задач. 1988г.
  • Шебес М.Р. Сборник упражнений и задач по теоретическим основам электротехники. 1962г.
  • Шебес М.Р. Теория линейных электрических цепей в упражнениях и задачах. Издание 2. 1973г.
  • Шебес М.Р. Задачник по теории линейных электрических цепей.
    Скачать книги можно здесь.

Теоретические основы электротехники — книги по ТОЭ.

Проверить правильность решения практически любой задачи по электротехнике можно при помощи виртуальной лаборатории — Electronics Workbench.

Еще одна программа, которая может быть полезна при решении задач — ТОЭ Super Solver-Circuit magic.

ТОЭ Super Solver-Circuit magic – программа для студентов изучающих теоретические основы электротехники и основы теории цепей. Circuit magic предназначена для создания схем электрических цепей, расчета токов, напряжений, составления балансов мощности, построения и корректировки векторных диаграмм токов и напряжений.

Circuit Magic производит расчет электрических цепей по законам Кирхгофа, методом контурных токов и методом узловых потенциалов. ТОЭ Super Solver-Circuit magic можно использовать в качестве редактора электрических схем и векторных диаграмм.

Для вывода и оформления результатов расчета в состав Circuit Magic включен встроенный текстовый редактор. Скачать Circuit Magic. Посетить сайт программы Circuit Magic.


Курс лекций «Основы электротехники и промышленной электроники»

    Курс лекций «Основы электротехники и промышленной электроники»

  • Содержание курса лекций
  • Глава 1. Электрические цепи постоянного тока.
  • 1.1. Основные понятия об электрической цепи.
  • 1.2. Ток, напряжение и мощность в электрической цепи.
  • 1.3. Источники в электрических цепях.
  • 1.3.1. Источник напряжения.
  • 1.3.2. Источник тока.
  • 1.4. Сопротивление или резистивный элемент.
  • 1.5. Задача анализа цепи. Законы Кирхгофа.
  • 1.6. Режимы работы электрических цепей.
  • 1.7. Уравнение баланса мощности в электрических цепях.
  • 1.8. Методы расчета электрических цепей.
  • 1.8.1. Метод непосредственного использования законов Кирхгофа.
  • 1.8.2. Метод эквивалентных структурных преобразований.
  • 1.8.3. Метод контурных токов.
  • 1.8.4. Метод узловых напряжений.
  • 1.8.5. Метод наложения.
  • 1.8.6. Метод эквивалентного генератора.
  • 1.9. Нелинейные электрические цепи постоянного тока.
  • 1.9.1. Нелинейные элементы электрических цепей, их вольтамперные характеристики и сопротивления.
  • 1.9.2. Графоаналитический метод расчета нелинейных электрических цепей.
  • 1.10. Мостовые электрические цепи.
  • Глава 2. Электрические цепи однофазного синусоидального тока.
  • 2.1. Синусоидальный ток и основные характеризующие его величины.
  • 2.2. Среднее и действующее значение синусоидального тока и ЭДС.
  • 2.3. Сложение синусоидальных функций времени. Векторные диаграммы. Основы символического метода расчета.
  • 2.4. Пассивные элементы электрической цепи.
  • 2.5. Резистивный элемент.
  • 2.6. Индуктивный элемент в цепи синусоидального тока.
  • 2.7. Емкостный элемент в цепи синусоидального тока.
  • 2.8. Последовательное соединение элементов r, L, C.
  • 2.9. Параллельное соединение элементов r, L, C.
  • 2.9.1. Мощность в цепи синусоидального тока. Комплексная мощность.
  • 2.10. Законы Кирхгофа и уравнение энергетического баланса в комплексной форме.
  • 2.11. Резонанс в цепях синусоидального тока.
  • 2.11.1. Резонанс напряжений.
  • 2.11.2. Резонанс токов.
  • 2.12. Резонанс напряжений и токов в разветвленных цепях.
  • Глава 3. Трехфазные системы.
  • 3.1. Общие положения.
  • 3.2. Источники электрической энергии.
  • 3.3. Потребители электрической энергии.
  • 3.4. Соединение треугольником.
  • 3.5. Соединение звездой.
  • 3.6. Мощности в трёхфазной системе.
  • Глава 4. Периодические несинусоидальные ЭДС, токи и напряжения в электрических цепях.
  • 4.1. Причины возникновения периодических несинусоидальных ЭДС, токов и напряжений.
  • 4.2. Способы представления периодических несинусоидальных величин.
  • 4.3. Основные соотношения для несинусоидальных величин.
  • 4.3.1. Максимальные значения несинусоидальных величин.
  • 4.3.2 Действующие значения несинусоидальных величин.
  • 4.3.3. Средние значения несинусоидальных величин.
  • 4.3.4. Коэффициенты, характеризующие несинусоидальные величины.
  • 4.4. Понятие о расчете активной и полной мощности линейных электрических цепей при несинусоидальных напряжениях и токах.
  • 4.5. Анализ линейных электрических цепей при несинусоидальном напряжении источника питания.
  • 4.6. Влияние резистивного, индуктивного и емкостного элементов цепи на форму кривой тока. Резонансные явления.
  • Глава 5. Переходные процессы в линейных цепях.
  • 5.1. Введение.
  • 5.2. Включение цепи r, L к источнику постоянного напряжения.
  • 5.3. Короткое замыкание цепи с резистором и индуктивностью.
  • 5.4. Включение цепи r, L к источнику гармонического напряжения.
  • 5.5. Включение в цепь r, C к источнику постоянного напряжения.
  • 5.6. Короткое замыкание в цепи с резистором и емкостью.
  • 5.7. Включение цепи r, C к источнику синусоидального напряжения.
  • Глава 6. Магнитные цепи при постоянной магнитодвижущей силе (МДС). Трансформаторы.
  • Глава 7. Электрические измерения и приборы.
  • Глава 8. Принцип действия, элементы конструкции и характеристики основных типов электрических машин.
  • 8.1. Общие сведения.
  • 8.1.1. Преобразование энергии связано с вращающимися магнитными полями.
  • 8.1.2. Для обеспечения непрерывного преобразования энергии необходимо, чтобы поле хотя бы одной из обмоток периодически изменялось бы в пространстве.
  • 8.1.3. Однонаправленный момент создают только взаимно неподвижные поля.
  • 8.1.4. Процесс электромеханического преобразования энергии в любой электрической машине обратим.
  • 8.2. Принцип действия коллекторных машин постоянного тока.
  • 8.2.1. Простейшая модель МПТ.
  • 8.2.2. Особенности конструкции и работы реальных машин постоянного тока.
  • 8.3. Характеристики МПТ при различных способах возбуждения.
  • 8.3.1. МПТ с независимым возбуждением.
  • 8.3.2. МПТ с последовательным возбуждением.
  • 8.3.3. МПТ со смешанным возбуждением.
  • 8.4. Принцип действия и характеристики асинхронных машин.
  • 8.4.1. Простейшая модель асинхронной машины.
  • 8.4.2. Особенности конструкции реальных асинхронных машин.
  • 8.4.3. Основные соотношения для асинхронного двигателя.
  • 8.4.4. Однофазные асинхронные двигатели.
  • 8.4.5. Единые серии асинхронных машин.
  • 8.5. Принцип действия и характеристики синхронных машин.
  • 8.5.1. Простейшая модель синхронной машины.
  • 8.5.2. Особенности конструкции и характеристики реальных синхронных машин.
  • 8.5.3. Синхронные шаговые двигатели.
  • 8.6. Потери мощности и энергетические характеристики электрических машин.
  • Глава 9. Функциональные схемы управления электроприводами.
  • 9.1. Схема 1.
  • 9.2. Схема 2.
  • 9.3. Схема автоматического управления асинхронным двигателем в функции скорости.
  • 9.4. Схема автоматического управления динамическим торможением асинхронного двигателя.
  • 9.5. Схема автоматического управления двигателем постоянного тока.
  • 9.5.1. Автоматизация пуска двигателя.
  • 9.5.2. Автоматизация реверса.

Источник информации: «Кафедра ФН7» МГТУ им. Баумана

    Прянишников В. А. Теоретические основы электротехники: Курс лекций

  • Предисловие
  • Введение
  • Раздел 1. Физические основы электротехники
  • Лекция 1. Уравнения электромагнитного поля и способы описания электромагнитных явлений. Понятие об электрическом токе
  • Лекция 2. Основные понятия и законы электрической цепи
  • Раздел 2. Электрические воздействия и сигналы
  • Лекция 3. Гармонические воздействия и способы их описания
  • Лекция 4 Периодические негармонические воздействия и способы их описания
  • Лекция 5. Непериодические воздействия и способы их описания
  • Раздел 3. Элементы электрических цепей
  • Лекция 6 Источники напряжения и тока
  • Лекция 7. Резистивные элементы в электрической цепи
  • Лекция 8. Индуктивные элементы в электрической цепи
  • Лекция 9. Емкостные элементы в электрической цепи
  • Лекция 10 Индуктивно связанные элементы
  • Лекция 11. Активные элементы в электрической цепи
  • Лекция 12. Преобразователи сопротивлений и проводимостей пассивных элементов
  • Раздел 4. Расчет электрических цепей в стационарном режиме
  • Лекция 13. Расчет цепей синусоидального переменного тока по мгновенным значениям
  • Лекция 14. Расчет цепей синусоидального переменного тока по комплексным значениям
  • Лекция 15. Расчет цепей при несинусоидальном периодическом напряжении
  • Лекция 16. Резонансы в электрических цепях
  • Лекция 17. Энергия и мощность в электрических цепях
  • Раздел 5. Расчет электрических цепей в нестационарном режиме
  • Лекция 18. Расчет переходных процессов по мгновенным значениям
  • Лекция 19. Расчет переходных процессов по комплексным значениям
  • Раздел 6. Методы расчета сложных электрических цепей
  • Лекция 20. Топология электрических цепей и их эквивалентные преобразования
  • Лекция 21. Расчет электрических цепей по законам Кирхгофа
  • Лекция 22. Расчет электрических цепей методом узловых напряжений
  • Лекция 23. Расчет электрических цепей методом контурных токов
  • Лекция 24 Расчет электрических цепей методом сигнальных графов
  • Раздел 7. Трехфазные цепи
  • Лекция 25. Трехфазные цепи при соединении звездой
  • Лекция 26. Трехфазные цепи при соединении треугольником
  • Раздел 8. Электрические фильтры
  • Лекция 27. Пассивные электрические фильтры
  • Лекция 28. Активные электрические фильтры
  • Раздел 9. Цели с распределенными параметрами
  • Лекция 29. Линии передачи с потерями в стационарном режиме
  • Лекция 30 Линия без потерь в стационарном режиме
  • Лекция 31. Нестационарные процессы в длинных линиях
  • Раздел 10. Нелинейные электрические цепи в стационарном режиме
  • Лекция 32. Электрические цепи с нелинейными резистивными элементами
  • Лекция 33. Электрические цепи с нелинейными реактивными элементами
  • Контрольные вопросы ЛИТЕРАТУРА

Купить книгу Теоретические основы электротехники: Курс лекций

    Козлова И.С. Конспект лекций по электротехнике

  • СОДЕРЖАНИЕ
  • ЛЕКЦИЯ № 1. Постоянный ток
  • 1. Электрическая цепь
  • 2. Законы Кирхгофа
  • 3. Работа и мощность электрического тока
  • ЛЕКЦИЯ № 2. Расчет электрических цепей постоянного тока
  • 1. Эквивалентные схемы источника электрической энергии
  • 2. Применение законов Кирхгофа для расчета электрических цепей
  • 3. Метод преобразования схемы
  • 4. Метод узлового напряжения
  • 5. Метод контурных токов
  • 6. Метод эквивалентного генератора
  • ЛЕКЦИЯ № 3. Электрическое поле и емкость электротехнических устройств
  • 1. Электрическое поле Диэлектрическая проницаемость и электрическая постоянная
  • 2. Емкость и конденсатор
  • 3. Электрические свойства изоляционных материалов
  • ЛЕКЦИЯ № 4. Электромагнитные расчеты
  • 1. Основные характеристики магнитного поля тока
  • 2. Закон полного тока
  • 3. Расчет магнитной цепи
  • 4. Электромагнитная индукция
  • 5. Электродвижущая сила, индуктируемая в катушке, и потокосцепление
  • 6. Индуктивность
  • ЛЕКЦИЯ № 5. Синусоидальный переменный ток
  • 1. Синусоидальный ток
  • 2. Действующие значения переменных токов и напряжений
  • 3. Закон Ома для простейших цепей переменного тока
  • 4. Последовательное соединение индуктивности и активного сопротивления
  • 5. Построение векторных диаграмм
  • 6. Последовательное соединение активных сопротивлений, индуктивностей и емкостей
  • 7. Параллельное соединение приемников переменного тока
  • 8. Смешанное соединение приемников переменного тока
  • 9. Полная и реактивная мощности
  • 10. Явления резонанса в цепях переменного тока
  • ЛЕКЦИЯ № 6. Трехфазная система
  • 1. Соединение по схеме «звезда»
  • 2. Соединение по схеме «треугольник»
  • 3. Активная, реактивная и полная мощности трехфазной симметричной системы
  • 4. Расчет трехфазной цепи при симметричной нагрузке
  • 5. Расчет трехфазной несимметричной цепи
  • ЛЕКЦИЯ № 7. Несинусоидальные периодические токи
  • 1. Общие сведения
  • ЛЕКЦИЯ № 8. Трансформаторы
  • 1. Общие сведения
  • 2. Холостой ход трансформатора
  • 3. Построение векторных диаграмм нагруженного трансформатора
  • 4. Параметры и векторная диаграмма приведенного трансформатора
  • 5. Эквивалентная схема трансформатора и ее векторная диаграмма
  • 6. Короткое замыкание трансформатора
  • 7. Коэффициент полезного действия трансформат и его зависимость от нагрузки
  • 8. Особенности трехфазных трансформаторов
  • 9. Устройство сердечника (магнитопровода) и обмоток
  • 10. Измерительные трансформаторы
  • ЛЕКЦИЯ № 9. Электрические измерения
  • 1. Меры, измерительные приборы и методы измерений
  • 2. Числовые выражения погрешностей измерения и классы точности
  • 3. Системы электроизмерительных приборов
  • ЛЕКЦИЯ № 10. Асинхронные бесколлекторные машины
  • 1. Общие сведения
  • 2. Устройство ротора
  • 3. Обмотка статора
  • 4. Векторные диаграммы двигателя
  • 5. Эквивалентная схема двигателя
  • 6. Рабочие характеристики двигателя
  • 7. Пуск в ход двигателей
  • 8. Методы регулирования частоты вращения двигателей
  • 9. Двухфазные и однофазные двигатели
  • ЛЕКЦИЯ № 11. Машины постоянного тока
  • 1. Общие сведения
  • 2 Устройство машины постоянного тока
  • 3. Выпрямление переменной э. д. с. посредством коллектора и щеток
  • 4. Реакция якоря
  • 5. Коммутация в машинах постоянного тока
  • 6. Генератор независимого возбуждения
  • 7. Самовозбуждение генераторов
  • 8. Режим двигателя
  • ЛЕКЦИЯ № 12. Синхронные машины
  • 1. Общие сведения
  • 2. Получение синусоидальной э. д. с. в синхронном генераторе
  • 3. Упрощенная векторная диаграмма синхронного генератора
  • 4. Асинхронный пуск синхронного двигателя

Ознакомиться с конспектом лекций по электротехнике можно здесь